Question

12．已知函数f（x）=mlnx+x²．（m为常数）
（Ⅰ）当x∈[1，e]时，求函数y=f（x）的零点个数；
（Ⅱ）是否存在正实数m，使得对任意x₁、x₂∈[1，e]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可求导数，$f′（x）=\frac{2{x}^{2}+m}{x}$，从而看出需讨论m，判断f′（x）的符号：m≥0时，显然无零点；m＜0时，需讨论$\sqrt{-\frac{m}{2}}≤1，\sqrt{-\frac{m}{2}}≥e$，以及$1＜\sqrt{-\frac{m}{2}}＜e$这几种情况，通过对f（x）在[1，e]上单调性和端点f（1），f（e）的符号，及对f（x）在[1，e]上最小值的符号的判断，从而可判断f（x）在[1，e]上零点的个数；
（Ⅱ）由上面知，m＞0时，f（x）在[1，e]上单调递增，可设1≤e₁≤e₂≤e，则可得到$f（{x}_{2}）+\frac{1}{{x}_{2}}≤f（{x}_{1}）+\frac{1}{{x}_{1}}$，从而说明$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]上单调递减，从而有$g′（x）=\frac{m}{x}+2x-\frac{1}{{x}^{2}}≤0$在[1，e]上恒成立，这样便可求出m＜0，从而说明满足条件的正实数m不存在．

解答 解：由f（x）=mlnx+x²得x＞0，$f'（x）=\frac{m}{x}+2x=\frac{{2{x^2}+m}}{x}$；
（Ⅰ）（i）若m≥0，f'（x）＞0，函数f（x）=mlnx+x²在[1，e]上为增函数，∵f（1）=1＞0；
∴函数y=f（x）在[1，e]上无零点；
（ii）若m＜0，由f'（x）=0得，$x=-\sqrt{-\frac{m}{2}}$（舍），$x=\sqrt{-\frac{m}{2}}$；
（1）若$\sqrt{-\frac{m}{2}}≤1$，即-2≤m＜0，函数f（x）=mlnx+x²在[1，e]上为增函数；
∵f（1）=1＞0，∴函数y=f（x）在[1，e]上无零点；
（2）若$\sqrt{-\frac{m}{2}}≥e$，即m≤-2e²，f'（x）＜0，函数f（x）=mlnx+x²在[1，e]上为减函数；
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+m≤-e²＜0；
∴函数y=f（x）在[1，e]上有一个零点；
（3）若$1＜\sqrt{-\frac{m}{2}}＜e$，即-2e²＜m＜-2，函数f（x）在$[{1，\sqrt{-\frac{m}{2}}}]$上为减函数，在$[{\sqrt{-\frac{m}{2}}，e}]$上为增函数；
f（1）=1＞0，f（e）=e²+m，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）=\frac{m}{2}[{ln（-\frac{m}{2}）-1}]$；
①当$-\frac{m}{2}＜e$，即-2e＜m＜-2时，$f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）=\frac{m}{2}[{ln（-\frac{m}{2}）-1}]＞0$，函数y=f（x）无零点；
②当$-\frac{m}{2}=e$，即m=-2e时，函数y=f（x）在[1，e]上有一个零点；
③当$\left\{{\begin{array}{l}{f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）＜0}\\{f（e）={e^2}+m＜0}\end{array}}\right.$时，即-2e²＜m＜-e²，函数y=f（x）在[1，e]上有一个零点；
④当$\left\{{\begin{array}{l}{f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）＜0}\\{f（e）={e^2}+m＞0}\end{array}}\right.$时，即-e²＜m＜-2e，函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点；
综上：当m＞-2e时，函数y=f（x）在[1，e]上无零点；当m＜-e²时，函数y=f（x）在[1，e]上有一个零点；当-e²＜m＜-2e时，函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点；
（Ⅱ）满足条件的m不存在；
若m＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）=mlnx+x²在[1，e]上为增函数；
不妨设1≤x₁≤x₂≤e，则$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，即$f（{x_2}）+\frac{1}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{1}{x_1}$；
由此说明$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]上单调递减，$g'（x）=\frac{m}{x}+2x-\frac{1}{x^2}≤0$在[1，e]上恒成立；
即$m≤-2{x^2}+\frac{1}{x}$对x∈[1，e]恒成立；
又$y=-2{x^2}+\frac{1}{x}$在[1，e]上单调递减；
∴$m≤-2{e^2}+\frac{1}{e}$，此时m＜0；
故满足条件的正实数m不存在．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，函数零点的概念及判断零点是否存在的方法，以及函数单调性的定义，根据导数符号求函数在闭区间上最值的方法，以及对数函数的单调性．