Question

7．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{{2^{x-1}}，x∈[\frac{1}{2}，2）}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）-f（x₂）的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$
• B． $[-\frac{9}{16}，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$
• C． $[\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}，-\frac{1}{2}）$
• D． $[-\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 先作出函数图象然后根据图象，根据f（x₁）=f（x₂），确定x₁的取值范围然后再根据x₁f（x₂）-f（x₂），转化为求在x₁的取值范围即可．

解答 解：作出函数的图象：
∵存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜$\frac{1}{2}$，
∵x+$\frac{1}{2}$在[0，$\frac{1}{2}$）上的最小值为$\frac{1}{2}$；
2^x-1在[$\frac{1}{2}$，2）的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴x₁+$\frac{1}{2}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₁≥$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$．
∵f（x₁）=x₁+$\frac{1}{2}$，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）-f（x₂）=x₁f（x₁）-f（x₁）2
=${x}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{x}_{1}$-（x₁+$\frac{1}{2}$）=x₁²-$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$，
设y=x₁²-$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$=（x₁-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{16}$，（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$），
则对应抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{4}$，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，y=-$\frac{9}{16}$，
当x=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$时，y=$\frac{2-3\sqrt{2}}{4}$，
即x₁f（x₂）-f（x₂）的取值范围为[-$\frac{9}{16}$，$\frac{2-3\sqrt{2}}{4}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点和方程之间的关系，利用二次函数的单调性是解决本题的关键，综合性强，难度较大．