Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f[f（x）]+k=0恰有两个不等实数根x₁，x₂，则x₁+x₂的最大值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}+ln2$
• B． $\frac{1}{2}-ln2$
• C． -1+ln2
• D． 1+ln2

Answer 1

分析 可判断f（x）＞0恒成立；从而化简方程为f（x）=ln（-k）；从而作图辅助，可知存在实数a（a≥1），使-2x₁=a=e${\;}^{{x}_{2}}$，从而可得x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$+lna，再构造函数g（a）=-$\frac{a}{2}$+lna，求导g′（a）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{2-a}{2a}$，从而确定最值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（x）＞0恒成立；
∴f[f（x）]=e^f（x），
∵f[f（x）]+k=0，
∴e^f（x）+k=0，即f（x）=ln（-k）；
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$与y=ln（-k）的图象如下，，
结合图象可知，存在实数a（a≥1），使-2x₁=a=e${\;}^{{x}_{2}}$，
故x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$+lna，
令g（a）=-$\frac{a}{2}$+lna，则g′（a）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{2-a}{2a}$，
故当a=2时，x₁+x₂有最大值-1+ln2；
故选C．

点评 本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法．