Question

10．△ABC中，AB=1，AC=2．
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$，求△ABC外接圆面积；
（2）若∠BAC的平分线交BC于D，且AD=$\frac{2}{3}$，求sin（B-C）．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}$便可得出$cos∠BAC=\frac{1}{4}$，可设D，E分别为AB，AC的中点，并连接OD，OE，设外接圆的半径为r，从而可得到$cos∠DAO=\frac{1}{2r}，cos∠EAO=\frac{1}{r}$，进一步可以求出sin∠DAO，sin∠EAO，这样根据$cos（∠DAO+∠EAO）=\frac{1}{4}$便可建立关于r的方程，从而可解出r²，这样即可求出外接圆面积；
（2）在△ABC中，由余弦定理可以求得BC=2，从而∠BAC=∠B，从而有$cosB=\frac{1}{4}$，而cosC=-cos2B=$\frac{7}{8}$，进一步可求出sinB和sinC，从而由两角差的正弦公式即可求出sin（B-C）的值．

解答 解：（1）根据条件，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC$=$2cos∠BAC=\frac{1}{2}$；
∴$cos∠BAC=\frac{1}{4}$，如图，设D，E分别为AB，AC的中点，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC，设外接圆的半径为r，则：$cos∠DAO=\frac{1}{2r}，cos∠EAO=\frac{1}{r}$；
∴$sin∠DAO=\sqrt{1-\frac{1}{4{r}^{2}}}$，$sin∠EAO=\sqrt{1-\frac{1}{{r}^{2}}}$；
∴cos∠BAC=cos（∠DAO+∠EAO）=cos∠DAOcos∠EAO-sin∠DAOsin∠EAO=$\frac{1}{2{r}^{2}}-\sqrt{1-\frac{1}{4{r}^{2}}}•\sqrt{1-\frac{1}{{r}^{2}}}=\frac{1}{4}$；
解得${r}^{2}=\frac{16}{15}$；
∴△ABC外接圆面积为$\frac{16π}{15}$；
（2）如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，cos$∠BAC=\frac{1}{4}$；
∴由余弦定理得，BC²=1+4-1=4；
∴BC=2；
∴$cosB=\frac{1}{4}$，$cosC=cos（π-2B）=-2co{s}^{2}B+1=\frac{7}{8}$；
∴$sinB=\frac{\sqrt{15}}{4}，sinC=\frac{\sqrt{15}}{8}$；
∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{7}{8}-\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，三角形外接圆的定义，圆心和弦的中点的连线垂直于弦，余弦函数的定义，sin²x+cos²x=1，以及两角和差的正余弦公式，二倍角的余弦公式，余弦定理．