Question

5．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值是$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由 $|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 的最大值．

解答 解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的
距离分别为1，3，
可得平行线m、n间的距离为2，
以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴
建立坐标系，如图所示：
则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=-2，
设点B（a，0）、点C（b，-2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，-1）、$\overrightarrow{AC}$=（b，-3），
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（a+b，-4）．
∵$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，∴（a+b）²+16=25，∴a+b=3，或a+b=-3．
当a+b=3时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=ab+3=a（3-a）+3=-a²+3a+3，它的最大值为$\frac{-12-9}{-4}$=$\frac{21}{4}$．
当a+b=-3时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=ab+3=a（-3-a）+3=-a²-3a+3，它的最大值为$\frac{-12-9}{-4}$=$\frac{21}{4}$．
综上可得，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 的最大值为$\frac{21}{4}$，
故答案为：$\frac{21}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，属于中档题．