Question

13．将函数f（x）=2sin（3x+φ）（-π＜φ＜π）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，且对任意的x∈R有g（x）+g（$\frac{π}{4}$）≥0，则g（x）的单调递增区间为（　　）

• A． [$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z
• B． [$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z
• C． [$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• D． [$\frac{4kπ}{3}$-$\frac{5π}{12}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z

Answer 1

分析 由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g（x）的增区间．

解答 解：将函数f（x）=2sin（3x+φ）（-π＜φ＜π）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）的图象，
由于对任意的x∈R有g（x）+g（$\frac{π}{4}$）≥0，即2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）≥-g（$\frac{π}{4}$），
故g（$\frac{π}{4}$）为函数g（x）的最大值，∴g（$\frac{π}{4}$）=2，∴$\frac{3π}{8}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=$\frac{π}{8}$，
∴g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{4}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，
则g（x）的单调递增区间为[$\frac{4}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
故选：D．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．