Question

1．已知函数f（x）=x²+2x+2a-a²．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a值代入，利用二次函数求解即可；
（2）求出二次函数对称轴x=-1，知函数f（x）在（-1，+∞）上递增，只需函数的最小值f（1）大于零即可．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，
f（x）=x²+2x+$\frac{3}{4}$＞0，
∴x＞-$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{3}{2}$，
∴解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²+2x+2a-a²，
对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在（-1，+∞）上递增，
任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
∴f（1）＞0，
∴-1＜a＜3．

点评 考查了二次不等式求解和二次函数最值问题．属于基础题型，应熟练掌握．