Question

6．已知O是坐标原点，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≤0}\\{x+y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$且点A，B的坐标分别为（1，y），（2，$\frac{1}{x}$），则z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围为[5，9]．

Answer 1

分析 z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2+2y+$\frac{1+y}{x}$，$\frac{1+y}{x}$的几何意义是点（x，y）与点C（0，-1）连线的斜率，从而作图利用线性规划求解．

解答 解：z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（1，y）•（2，$\frac{1}{x}$）=2+$\frac{1}{x}$+2y+$\frac{y}{x}$=2+2y+$\frac{1+y}{x}$，
$\frac{1+y}{x}$的几何意义是点（x，y）与点C（0，-1）连线的斜率，
作平面区域如下，
，
易知k_AC=$\frac{1-（-1）}{1-0}$=2，k_BC=$\frac{2-（-1）}{1-0}$=3，
结合图象可得，
2+1+2≤2+2y+$\frac{1+y}{x}$≤2+4+3，
即5≤2+2y+$\frac{1+y}{x}$≤9．
故答案为：[5，9]．

点评 本题考查了平面向量与线性规划问题，同时考查了数形结合的思想方法应用及转化思想的应用．