Question

8．设P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，且P点到两直线x-2y=0，x+2y=0距离之和不大于$\sqrt{5}$，则x-y的最大值为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由点到直线的距离公式化简可得x≤$\frac{5}{2}$，作出其平面区域，令z=x-y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由点到直线的距离公式可得 $\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}+\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{5}$，
又∵P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{x-2y}{\sqrt{5}}+\frac{x+2y}{\sqrt{5}}≤\sqrt{5}$，即x≤$\frac{5}{2}$，
作出其平面区域如图，
结合图象可知，过点A（$\frac{5}{2}，-\frac{5}{4}$）时有最大值，
即x-y的最大值为$\frac{5}{2}+\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$，
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．