Question

16．已知数列{a_n}的首项为15，满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n+1}-2n}$，a_n+a_n+1≠0，且$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． -2＜λ＜3
• B． λ≤-2或λ≥3
• C． -$\frac{3}{2}$＜λ＜$\frac{9}{2}$
• D． λ≤-$\frac{3}{2}$或λ≥$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得a_n+1-a_n=2n，然后利用累加法求得数列的通项公式，代入$\frac{{a}_{n}}{n}$，求其最小值，再代入$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ求得实数λ的取值范围．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n+1}-2n}$，得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2n（{a}_{n+1}+{a}_{n}）$，
∵a_n+a_n+1≠0，
∴a_n+1-a_n=2n，
则a₂-a₁=2×1，a₃-a₂=2×2，a₄-a₃=2×3，…a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），
累加得：${a}_{n}-{a}_{1}=2[1+2+…+（n-1）]=2×\frac{n（n-1）}{2}$=n²-n（n≥2），
∴${a}_{n}={n}^{2}-n+15$．
验证n=1时成立，
∴${a}_{n}={n}^{2}-n+15$．
则$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+15}{n}=n+\frac{15}{n}-1$，当n=4时，$（\frac{{a}_{n}}{n}）_{min}=\frac{27}{4}$，
由$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ恒成立，得λ²-3λ$＜\frac{27}{4}$，
即4λ²-12λ-27＜0，解得：$-\frac{3}{2}＜λ＜\frac{9}{2}$．
∴实数λ的取值范围为$-\frac{3}{2}＜λ＜\frac{9}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．