Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+2，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\\{\;}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范围是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． [-3，3）
• D． （-3，3]

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由图象可得x₁+x₂=-4，x₃x₄=1；1＜x₄≤4；从而化简$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$，再利用函数的单调性求出它的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象，
由图可知，x₁+x₂=-4，x₃x₄=1；
当|log₂x|=2时，x=4或x=$\frac{1}{4}$，
则1＜x₄≤4
故$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$=$\frac{-4}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄，
其在1＜x₄≤4上是增函数，
故-4+1＜$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄≤-1+4；
即-3＜$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄≤3；
即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范围是（-3，3]，
故选：D

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，结合对数函数的运算性质以及一元二次函数的对称性是解决本题的关键．．