Question

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设原不等式的解集为A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当k等于0时，代入不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当k大于0且k不等于2时，不等式两边除以k把不等式变形后，根据基本不等式判断k+

2

k

与4的大小即可得到原不等式的解集；当k等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到x不等于4，进而得到原不等式的解集；当k小于0时，不等式两边都除以k把不等式变形后，根据k+

2

k

小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；
（2）根据（1）中求出的不等式的解集A，得到当k小于0时，A中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出k+

2

k

的最大值，进而求出此时k的值．

解答：解：（1）设原不等式的解集为A，
当k=0时，A=（-∞，4）；（2分）
当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x-（k+

4

k

）]（x+4）＞0，
∵k+

4

k

＞4，（4分）
∴A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；（5分）
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；（不单独分析k=2时的情况不扣分）
当k＜0时，原不等式化为[x-（k+

4

k

）]（x-4）＜0，
∴A=(k+

4

k

，4)；（7分）
（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；（9分）
当k＜0时，A中整数的个数为有限个，（11分）
因为k+

4

k

≤-4，当且仅当k=-2时取等号，（12分）
所以当k=-2时，A中整数的个数最少．（14分）

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．