Question

17．已知a＞0，函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由A、B的坐标可以将直线l的方程找到，通过M点坐标可以得到N的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值．

解答 解：∵f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x∈[1，2]），a＞0，
∴A（1，1-a），B（2，2-$\frac{a}{2}$）
∴直线l的方程为y=（1+$\frac{a}{2}$）（x-1）+1-a
设M（t，t-$\frac{a}{t}$）
∴N（t，（1+$\frac{a}{2}$）（t-1）+1-a）
∵|MN|≤1恒成立
∴|（1+$\frac{a}{2}$）（t-1）+1-a-（t-$\frac{a}{t}$）|≤1恒成立
∴|a$\frac{{t}^{2}-3t+2}{2t}$|≤1
∵g（t）=t²-3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立
∴-a$\frac{{t}^{2}-3t+2}{2t}$≤1
①t=1或t=2时，0≤1恒成立．
②t∈（1，2）时，a≤$\frac{-2t}{{t}^{2}-3t+2}$=$\frac{-2}{t+\frac{2}{t}-3}$
∴由基本不等式得：a≤$\frac{-2}{2\sqrt{2}-3}$=4$\sqrt{2}$+6
此时t=$\sqrt{2}$
∴a的最大值为6+4$\sqrt{2}$

点评 本题考查通过两点坐标求直线l方程，去绝对值，以及由基本不等式确定a的范围．