Question

12．在公差d不为零的等差数列{a_n}中，若a₁=2，且a₃是a₁，a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比中项可${{a}_{3}}^{2}$=a₁•a₉，结合a₁=2解方程可知公差d=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{2n•（{2n+2}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₃是a₁，a₉的等比中项，{a_n}是等比数列，
∴${{a}_{3}}^{2}$=a₁•a₉，即$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+8d），
又∵a₁=2，
∴（2+2d）²=2•（2+8d），
化简得：d²-2d=0，
又∵d≠0，
∴d=2，
∴a_n=2n；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{2n•（{2n+2}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{n}{{4（{n+1}）}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．