Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=3，S₇=28．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（-1）ⁿ•$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等差数列{a_n}的公差为d，联立a₃=a₁+2d=3与S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=28，可求出首项和公差，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）裂项知，b_n=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则
a₃=a₁+2d=3，S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=28，
解得：a₁=1，d=1，
所以a_n=1+n-1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=（-1）ⁿ•$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
当n为奇数时，T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-…-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1-$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{n+2}{n+1}$；
当n为偶数时，T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-…+（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1+$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{n}{n+1}$；
综上，T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．