Question

6．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，∠AED=90°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=$\frac{1}{2}$AD=2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：平面BAE⊥平面DCE；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥AE，ED⊥AE，从而AE⊥平面DCE，由此能证明平面BAE⊥平面DCE．
（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，三棱锥B-AEG的体积为V_B-AEG=V_E-ABG，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE，
∵∠AED=90°，∴ED⊥AE，
又∵EO∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，
又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．…（6分）
解：（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED=AD．
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形，AE=2，
由EF∥AD，知∠EAD=60°，∴$EN=AE•sin60°=\sqrt{3}$，
∴三棱锥B-AEG的体积为：
${V_{B-AEG}}={V_{E-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•EN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…••（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．