Question

16．已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥-2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x-a，通过讨论求出a的范围即可；
法二：设g（x）=f（x）-x，问题转化为-a≥g（x）_max，求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|-2|x-1|≥-2，
当x≤-2时，x-4≥-2，即x≥2，所以x∈∅；
当-2＜x＜1时，3x≥-2，即x≥-$\frac{2}{3}$，所以-$\frac{2}{3}$≤x＜1；
当x≥1时，-x+4≥-2，即x≤6，所以1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥-2的解集为M={x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}\right.$，
令y=x-a，当直线经过点（1，3）时，-a=2，
所以当-a≥2，即a≤-2时成立；
当-a＜2即a＞-2时，令-x+4=x-a，得x=2+$\frac{a}{2}$，
所以a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4，
综上，a≤-2或a≥4．
解法二：（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4，x≥1}\\{2x，-2＜x＜1}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，
所以-a≥g（x）_max，
①当a＞1时，g（x）_max=g（a）=-2a+4，
所以-a≥-2a+4，所以a≥4，符合a＞1．
②当a≤1时，g（x）_max=g（1）=2，
所以-a≥2，所以a≤-2，符合a≤1，
综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．