Question

5．若2tanα=3tan$\frac{π}{8}$，则tan（α-$\frac{π}{8}$）=$\frac{5\sqrt{2}+1}{49}$．

Answer 1

分析 利用特殊角的三角函数值及二倍角的正切函数公式可求tan$\frac{π}{8}$的值，利用已知及两角差的正切函数公式化简所求，即可计算得解．

解答 解：∵tan$\frac{π}{4}$=1=$\frac{2tan\frac{π}{8}}{1-ta{n}^{2}\frac{π}{8}}$，整理可得：tan²$\frac{π}{8}$+2tan$\frac{π}{8}$-1=0，解得：tan$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2}-1$，或-1-$\sqrt{2}$，（舍去），
∵2tanα=3tan$\frac{π}{8}$，可得：tanα=$\frac{3}{2}$tan$\frac{π}{8}$=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{2}-1$），
∴tan（α-$\frac{π}{8}$）=$\frac{tanα-tan\frac{π}{8}}{1+tanαtan\frac{π}{8}}$=$\frac{\frac{3}{2}（\sqrt{2}-1）-（\sqrt{2}-1）}{1+\frac{3}{2}（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}+1}{49}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}+1}{49}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，二倍角的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．