Question

14．已知函数f（x）=aln（x+2）-x²在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，24]
• B． （-∞，12]
• C． [12，+∞）
• D． [24，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，利用$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$，将其变形可得f（p+1）-2（p+1）＞f（q+1）-2（q+1），从而构造函数g（x）=f（x）-2x，分析可得函数g（x）为增函数，利用导数分析可得$g'（x）=f'（x）-2=\frac{a}{x+2}-2x-2≥0$在x∈（1，2）上恒成立，分析可得a≥[（x+2）（2x+2）]恒成立，结合三角函数的性质分析可得[（x+2）（2x+2）]的最大值，由恒成立的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，由$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$，变形可得得f（p+1）-f（q+1）＞2（p-q），
则f（p+1）-2（p+1）＞f（q+1）-2（q+1），
令g（x）=f（x）-2x，则有g（p+1）＞r（q+1）
又由实数p、q∈（0，1），且p＞q，
所以函数g（x）=f（x）-2x在（1，2）上单调递增，
从而$g'（x）=f'（x）-2=\frac{a}{x+2}-2x-2≥0$在x∈（1，2）上恒成立
即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]_max
又函数y=（x+2）（2x+2）=2（x²+3x+2）在x∈[1，2]上单调递增
所以[（x+2）（2x+2）]_max=24，
所以a≥24；
故选：D．

点评 本题考查函数单调性的判断以及应用，关键是构造函数g（x），并判断出函数的单调性．