Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=9，a₂为整数，且S_n≤S₅，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前9项和为-$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 通过S_n≤S₅得a₅≥0，a₆≤0，利用a₁=9、a₂为整数，由等差数列的通项公式，解不等式可得d=-2，进而可得通项公式；通过a_n=11-2n，可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（11-2n）（9-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9-2n}$-$\frac{1}{11-2n}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求值．

解答 解：在等差数列{a_n}中，设公差为d，由S_n≤S₅得：
可得a₅≥0，a₆≤0，
又∵a₁=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+4d≥0}\\{9+5d≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$≤d≤-$\frac{9}{5}$，
∵a₂为整数，∴d=-2，
∴{a_n}的通项为：a_n=11-2n；
∴设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（11-2n）（9-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9-2n}$-$\frac{1}{11-2n}$），
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前9项和为T₉=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{-9}$-$\frac{1}{-7}$）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{-9}$）=-$\frac{1}{9}$．
故答案为：-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查裂项相消求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．