Question

1．设函数f（x）=|x-2|+2x-3，记f（x）≤-1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]²-x²f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1\\ 3x-5\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≤2\\ x＞2\end{array}$，通关当x≤2时，当x＞2时，分别求解f（x）≤-1的解集．
（Ⅱ）求出当x∈M时，f（x）=x-1，化简x[f（x）]²-x²f（x），利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知，得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1\\ 3x-5\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≤2\\ x＞2\end{array}$，
当x≤2时，由f（x）=x-1≤-1，解得，x≤0，此时x≤0．
当x＞2时，由f（x）=3x-5≤-1，解得$x≤\frac{4}{3}$，显然不成立，
故f（x）≤-1的解集为M={x|x≤0}．
（Ⅱ）证明：当x∈M时，f（x）=x-1，
于是$x{[{f（x）}]^2}-{x^2}f（x）=x{（{x-1}）^2}-{x^2}（{x-1}）=-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
∵函数$g（x）=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$在（-∞，0]上是增函数，∴g（x）≤g（0）=0，
故x[f（x）]²-x²f（x）≤0．

点评 本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．