Question

13．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为 120°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$．若平面向量 $\overrightarrow m$满足$\overrightarrow m•\overrightarrow a=\overrightarrow m•\overrightarrow b=1$，则$|{\overrightarrow m}|$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知画出图形，然后利用坐标法求解．

解答 解：如图，

设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，
则A（1，0），B（-1，$\sqrt{3}$），
再设$\overrightarrow{m}=（x，y）$，
由$\overrightarrow m•\overrightarrow a=\overrightarrow m•\overrightarrow b=1$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{-x+\sqrt{3}y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，建系起到事半功倍的效果，是中档题．