Question

3．知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+t（ω＞0），若f（x）图象上有相邻两个对称轴间的距离为$\frac{3π}{2}$，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若f（B）=1，且2sin²C=cosC+cos（A-B），求∠B与sinA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据题意求出周期，然后求ω的值，由x的范围，利用正弦函数的性质可求t，即可得解表达式；
（2）通过f（B）=1，求出B的值，利用诱导公式化简可得sin²A+sinA-1=0，进而可求sinA的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+t
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+t
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+t，
∵由题意可得：T=2×$\frac{3π}{2}$=3π=$\frac{2π}{2ω}$，且ω＞0，
∴ω=$\frac{1}{3}$，f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+t，
当0≤x≤π时，$\frac{π}{6}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）_min=2×$\frac{1}{2}$+t=0，解得：t=-1，
∴函数f（x）的表达式为：f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）在△ABC中，∵f（B）=2sin（$\frac{2}{3}$B+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（$\frac{2}{3}$B+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜B＜π，可得：$\frac{2}{3}$B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得B=$\frac{π}{2}$，
∵2sin²C=cosC+cos（A-B），
∴2sin²（$\frac{π}{2}$-A）=cos（$\frac{π}{2}$-A）+cos（A-$\frac{π}{2}$），
∴2cos²A=2sinA，可得：sin²A+sinA-1=0，解得：sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦函数公式、诱导公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查计算能力，注意B的大小求解，是易错点，属于基础题．