Question

5．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a_n}为“斐波那契”数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，则
（Ⅰ）S₇=33；      
（Ⅱ）若a₂₀₁₇=m，则S₂₀₁₅=m-1．（用m表示）

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出前7项，即可得出结论；
（Ⅱ）迭代法可得a_n+2=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，可得S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1，代值计算可得．

解答 解：（Ⅰ）S₇=1+1+2+3+5+8+13=33；
（Ⅱ）∵a_n+2=a_n+a_n+1=a_n+a_n-1+a_n
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-1
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-2
=…
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，
∴S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1=m-1．
故答案为33；m-1．

点评 本题考查递推数列，考查学生分析解决问题的能力，正确迭代是关键．