Question

14．数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+$…$+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{4032}{2017}$
• B． $\frac{4028}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2014}{2015}$

Answer 1

分析 a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），a₁=1．可得a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”方法可得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），a₁=1．
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+$…$+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）]$
=2$（1-\frac{1}{2017}）$=$\frac{4032}{2017}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．