Question

如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.
(1)设，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

Answer 1

（1）三角形铁皮的面积为；（2）的面积的最大值为.

解析试题分析：（1）先根据题中条件得出，，，最后根据三角形的面积计算公式即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设，进而根据（1）中思路求出，到此用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令，先确定的取值范围，进而得到，从而，根据求出的的取值范围，结合二次函数的图像与性质即可确定的最大值.
（1）由题意知


，即三角形铁皮的面积为
（2）设则，，
令，由于，则有所以
且，所以
故
而函数在区间上单调递增
故当时，取得最大值.
考点：1.三角函数的实际应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.三角函数的图像与性质；4.二次函数的图像与性质.