Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，且a_n+2=（1+cosnπ）（a_n-1）+2（n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，则S_2n=2ⁿ⁺¹+2n-2．

Answer 1

分析 根据条件讨论n的奇偶性，分别化简递推公式并判断出数列的特征，由等比数列的通项公式求通项公式a_n，根据等差数列和等比数列的前n项和公式，可求数列的前2n项的和S_2n．

解答 解：（1）当n是奇数时，cosnπ=-1，
由a_n+2=（1+cosnπ）（a_n-1）+2（n∈N^*）得，a_n+2=2，
所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是各项为2的常数列，
当n为偶数时，cosnπ=1，同理可得a_n+2=2a_n，
所以a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首项为a₂=2，公比为2的等比数列，
则${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n是奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n是偶数}\end{array}\right.$，
所以S_2n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…a_2n）
=2n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+2n-2，
故答案为：2ⁿ⁺¹+2n-2．

点评 本题考查数列递推公式的化简，等比数列的通项公式，以及等差数列和等比数列的前n项和公式，数列求和的方法：分组求和法，注意要注意对n进行分类讨论．