Question

19．为了解市场上某品牌中性笔替芯的质量情况，现随机抽取100支进行研究，其中合格品为80支．
（1）根据产品质量按分层抽样的方法从这100只中抽取10支，甲，乙同学从抽出的10支中随机取3支，求恰有2支合格的概率．
（2）以随机抽取的100支中合格品的频率作为该产品的合格率，甲乙两同学分别在市场上购得该品牌替芯2支，设两人购得的合格品数分别为x，y，记随机变量X=|x-y|，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由题意抽出的10支替芯中，合格品有8支，由此能求出甲，乙同学从抽出的10支中随机取3支，恰有2支合格的概率．
（2）由题意，该替芯的合格率P=$\frac{4}{5}$，设P_i表示甲（乙）购得i（i=0，1，2）支合格品的概率，随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX．

解答 解：（1）由题意抽出的10支替芯中，合格品有8支，
则甲，乙同学从抽出的10支中随机取3支，恰有2支合格的概率P=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$．
（2）由题意，该替芯的合格率P=$\frac{4}{5}$，
设P_i表示甲（乙）购得i（i=0，1，2）支合格品的概率，
则P₀=（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{25}$，
P₁=2×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$，
P₂=$（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{16}{25}$，
随机变量X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=${{P}_{0}}^{2}+{{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}$=$\frac{321}{625}$，
P（X=1）=2P₀•P₁+2P₁P₂=$\frac{272}{625}$，
P（X=2）=2P₀•P₂=$\frac{32}{625}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{321}{625}$	$\frac{272}{625}$	$\frac{32}{625}$

EX=$0×\frac{321}{625}+1×\frac{272}{625}+2×\frac{32}{625}$=$\frac{336}{625}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．