Question

11．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意
（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K²=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？
附：

	不满意	满意	合计
男		4	7
女
合计

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；
（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）完成2×2列联表，求出K²≈3.7781＜3.841，从而得到在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．
（2）由频率估计“满意”的概率为$\frac{6}{20}$=0.3，由此能求出在3人中恰有2人满意的概率．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根据已知资料完成2×2列联表：

	不满意	满意	合计
男	3	4	7
女	11	2	13
合计	14	6	20

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

∵K²≈3.7781＜3.841，
∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．
（2）由频率估计“满意”的概率为$\frac{6}{20}$=0.3，
∴在3人中恰有2人满意的概率为${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}×（1-0.3）=0.189$．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{11}{91}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{46}{91}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{4}{91}$，
P（ξ=2）=1-$\frac{11}{91}-\frac{46}{91}-\frac{4}{91}$=$\frac{30}{91}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{11}{91}$	$\frac{46}{91}$	$\frac{30}{91}$	$\frac{4}{91}$

Eξ=$0×\frac{11}{91}+1×\frac{46}{91}+2×\frac{30}{91}+3×\frac{4}{91}$=$\frac{118}{91}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．