Question

3．已知集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，集合B={W|W=$\frac{1}{2}$zi+b，b∈R，z∈A}，当A∩B=B时，求b的值．

Answer 1

分析 由集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，可得：集合A表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆及圆内部．B：由w=$\frac{1}{2}$zi+b，可得z=-2i（w-b），利用|z-2|=|-2i|•|w-b-i|=2•|w-（b+i）|≤2，可得|w-（b+i）|≤1，根据两圆的位置关系即可得出．

解答 解：由集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，可得：集合A表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆及圆内部．
B：∵w=$\frac{1}{2}$zi+b，∴z=-2i（w-b），
∴z-2=-2i（w-b）+2i•i=-2i（w-b-i），
∴|z-2|=|-2i|•|w-b-i|=2•|w-（b+i）|≤2，
∴|w-（b+i）|≤1，
∴B表示的点是以（b，1）为圆心，1为半径的圆及圆内部，
A∩B≠∅，有两个临界位置（两圆外切），临界位置左右两侧都是A∩B=∅，
两圆内切时，A∩B=B，圆心的距离=半径的差，即（b-2）²+1²=（2-1）²，∴b=2，

点评 本题考查了复数的运算性质、圆的复数方程、两圆的位置关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．