Question

12．已知f（x）=-2cos²x+2sinx+$\frac{3}{2}$．
（1）当x∈R时，求函数f（x）的值域；
（2）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用平方关系化余弦为正弦，然后利用配方法求得函数值域；
（2）由x的范围求得sinx的范围，再由二次函数的单调性求得答案．

解答 解：（1）f（x）=-2cos²x+2sinx+$\frac{3}{2}$=-2（1-sin²x）+2sinx+$\frac{3}{2}$
=$2si{n}^{2}x+2sinx-\frac{1}{2}$=$2（sinx+\frac{1}{2}）^{2}-1$，
∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=$-\frac{1}{2}$时，f（x）_min=-1，
当sinx=1时，$f（x）_{max}=\frac{7}{2}$．
∴函数f（x）的值域为[-1，$\frac{7}{2}$]；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴sinx∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当sinx=$-\frac{1}{2}$时，f（x）_min=-1，
当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$f（x）_{max}=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查复合三角函数值域的求法，训练了利用配方法求二次函数的值域，是基础题．