Question

4．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PC}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设P（x，0），使用坐标法将$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$表示成x的函数，根据x的范围求出函数的最大值．

解答 解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形ABCD的面积为2，∴B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），D（0，$\sqrt{2}$）．
设P（x，0）（0$≤x≤\sqrt{2}$），则$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{2}-x$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-x，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-x（$\sqrt{2}-x$）+2=x²-$\sqrt{2}x$+2=（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$取得最大值$\frac{3}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一．