Question

20．已知{a_n}是等差数列，a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_ncosnπ，求数列{c_n}的前n项和S_n，并判断是否存在正整数m，使得S_m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可求得d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=3，{b_n-a_n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）化简c_n=b_ncosnπ=（3n+2^n-1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c_n}的前n项和S_n，可求得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}+\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）），n为奇数}\\{\frac{3}{2}n+\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n为偶数}\end{array}\right.$，从而讨论即可．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=3，a₄=12，
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=3，
∴a_n=3n，
∵{b_n-a_n}是等比数列，且b₁-a₁=4-3=1，b₄-a₄=20-12=8，
∴q=2，
∴b_n-a_n=1•2^n-1，
∴b_n=3n+2^n-1；
（2）c_n=b_ncosnπ=（3n+2^n-1）cosnπ，
故①当n为奇数时，
S_n=-（3+1）+（6+2）-（9+4）+…+（3（n-1）+2^n-2）-（3n+2^n-1）
=（-3+6-9+…+3（n-1））-3n+（-1+2-4+…-2^n-1）
=3×$\frac{n-1}{2}$-3n+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=-$\frac{3}{2}$（n+1）+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=-[$\frac{3}{2}$（n+1）+$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）]，
②当n为偶数时，
S_n=-（3+1）+（6+2）-（9+4）+…-（3（n-1）+2^n-2）+（3n+2^n-1）
=（-3+6-9+…-3（n-1）+3n）+（-1+2-4+…+2^n-1）
=3×$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ-1]
=$\frac{3}{2}$n+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-1），
综上所述，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}+\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）），n为奇数}\\{\frac{3}{2}n+\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n为偶数}\end{array}\right.$，
若S_m=2016，故m一定是偶数，
故$\frac{3}{2}$m+$\frac{1}{3}$（2^m-1）=2016，
故$\frac{1}{3}$（2^m-1）=2016-$\frac{3}{2}$m，
而$\frac{1}{3}$（2¹⁴-1）＞2016，$\frac{1}{3}$（2¹²-1）＜2016-$\frac{3}{2}$×12，
故m值不存在．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．