Question

1．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3-0或者3-1取胜的球队积3分，负队积0分；3-2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为$\frac{2}{3}$．
（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？
（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．

解答 解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为$\frac{2}{3}$，
∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：
p=$（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）$=$\frac{16}{27}$．
（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$（\frac{1}{3}）^{3}+{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{16}{81}$，
P（X=3）=$（\frac{2}{3}）^{3}+{C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$（$\frac{2}{3}$）=$\frac{16}{27}$，
∴中国队获得积分X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$	$\frac{16}{27}$

EX=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{8}{81}+2×\frac{16}{81}+3×\frac{16}{27}$=$\frac{184}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查中国队获得积分的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．