Question

6．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=$\frac{1}{10}$x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

Answer 1

分析 （1）根据条件进行证明即可．
（2）结合条件，进行转化证明．
（3）将f（4n-2）分成三组，分别计算出每组数列的特点，利用等比数列的求和公式进行计算即可．

解答 证明：（1）若f（x）=2^xsin（πx），
∴f（x+2）=2^x+2sin（πx+2π）=4•2^xsin（πx）=4f（x）；
（2）若f（x）=a^xφ（x），
则，满足f（x+T）=kf（x），
即a^x+Tφ（x+T）=ka^xφ（x），
即a^Tφ（x+T）=kφ（x），
即φ（x+T）=ka^-Tφ（x），
故函数φ（x）是以T为周期的周期函数．
（3）∵若f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=$\frac{1}{10}$x（x²-9），
∴f（2）=-1，f（14）=f（12+2）=（$\sqrt{2}$）²f（2）=-2，
则f（2），f（14），f（26）…构成以-1为首项，公比q=2的等比数列，
f（6）=$\sqrt{2}$f（0）=0，
即f（6）=f（18）=f（6k）=…=0，
f（10）=f（12-2）（$\sqrt{2}$）²f（-2）=2，
f（22）=f（12+10）=（$\sqrt{2}$）²f（10）=2×2=4，
则f（10），f（22），f（34）…构成以2为首项，公比q=2的等比数列，
每相邻三项为一组设n=3k，
则S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）=$\frac{-1•（1-{2}^{k}）}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{k}）}{1-2}$=2^k-1+2•2^k-2=3•2^k-3，
当k=8时，S_n=765，
即当k=8时，n=24，
则当n=25时，f（4n-2）=f（4×25-2）=f（98）=f（16×6+2）=（$\sqrt{2}$）¹⁶f（2）=-256，
此时S₂₅=765-256=509，
当n=26时，f（4n-2）=f（4×26-2）=f（102）=f（17×6）=0，
此时S₂₆=765-256=509，
当n=27，f（4n-2）=f（4×27-2）=f（106）=f（18×6-2）=（$\sqrt{2}$）¹⁸f（-2）=512，
此时S₂₇=509+512=1021，
故使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n为26

点评 本题主要考查函数的性质，以及函数与数列的综合，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．