Question

18．设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式，并求y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的单调减区间；
（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b．依题意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x³-6x²+9x． 
（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
依题意则有f（3）=0，f′（3）=0，
即27+9a+3b=0，①
27+6a+b=0，②
解得a=-6，b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x． 
则y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx=x²-6x+9+4lnx，x＞0，
y′=2x-6+$\frac{4}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-6x+4}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
由y′＜0得1＜x＜2，
即y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的单调减区间为（1，2）．
（2）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）=0，得x=1或x=3．
列表讨论，得：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	4	减函数	0	增函数

∴函数f（x）=x³-6x²+9x极大值是4，极小值是0．…（7分）
由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，
①若极值点1∈[s，t]，
此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t，
故在区间[s，t]上没有极值点；
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，
即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=s}\\{f（t）=t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{s}^{3}-6{s}^{2}+9s=s}\\{{t}^{3}-6{t}^{2}+9t=t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{t=4}\end{array}\right.$不合要求．
（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，
即1≤s＜t＜3，则$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
两式相减并除s-t，得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
两式相除并开方，得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，即s（3-s）=t（3-t），
整理，并除以s-t，得：s+t=3，②
则①、②得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=3}\\{st=1}\end{array}\right.$，即s，t是方程x²-3x+1=0的两根，
即s=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ 不合要求；
综上，不存在正数s，t满足要求．…（14分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查函数的极值的求法，考查满足条件的正数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．