Question

试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．

当n=1时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=2时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=3时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=4时，有nn+1 （n+1）n（填＞、=或＜）；

猜想一个一般性的结论，并加以证明．

 

Answer 1

＜，＜，＞，＞

【解析】

试题分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出nn+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．

【解析】
当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，

当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，

根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

则当n=k+1时，=＞=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，

∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．