Question

1．定义在区间I上的函数f（x），若任给x₀∈I，均有f（x₀）∈I，则称函数f（x）在区间I上“定义域与值域的包含”
（1）已知函数f（x）=2x+1；g（x）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{4}$判断函数f（x）、g（x）在区间[-1，2]是否“定义域与值域的包含“，并说明理由；
（2）函数h（x）=$\frac{2x+m}{x+2}$在区间[2，8]上“定义域与值域的包含”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在区间[-1，2]上单调递增，可得函数的值域为[-1，5]．由[-1，5]?[0，1]，再根据函数g（x）在区间[-1，2]上单调递增，求得-1≤g（x）≤2，可得结论
（2）据函数gh（x）=$\frac{2x+m}{x+2}$在区间[2，3]在区间[2，9]上上“定义域与值域的包含”，分类讨论求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2x+1在区间[-1，2]是增函数，
∴f（-1）≤f（x）≤f（2），即-1≤f（x）≤5，显然[-1，5]?[-1，2]，
∴f（x）在区间[-1，2]不是“定义域与值域的包含”，
∵g（x）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{4}$=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+2，
∴g（-1）≤g（x）≤g（1），
即-1≤g（x）≤2，
∴g（x）在区间[-1，2]是“定义域与值域的包含”；
（2）∵h（x）=$\frac{2x+m}{x+2}$=2+$\frac{m-4}{x+2}$，
当m=4时，h（x）=2∈[2，8]，满足题意，
当m＞4时，函数h（x）在区间[2，8]上是减函数，
h（8）≤h（x）≤h（2），
则$\left\{\begin{array}{l}{h（8）=\frac{16+m}{10}≥2}\\{h（2）=\frac{4+m}{4}≤8}\end{array}\right.$，解得4＜m≤28，
当m＜4时，函数h（x）在区间[2，8]上是增函数，
h（2）≤h（x）≤h（8），
则$\left\{\begin{array}{l}{h（8）=\frac{16+m}{10}≤8}\\{h（2）=\frac{4+m}{4}≥2}\end{array}\right.$，解得m∈∅，
综上所述m的取值范围为[4，28]

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，新定义，其中，分类讨论，是解题的关键和难点，属于中档题．