Question

已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．
（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；
（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝

试题分析：本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.
试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即 
又原点到直线的距离 
由得                                     3分
所求双曲线方程为                                4分
（注：也可由面积法求得）
渐近线方程为：                                     5分
（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由
得：                                   7分
∴3＋3＋＝3＋3＋，
整理得： ＝0，
∵，∴，∴， 
又由－10＋25－3＝0  （），
∴y＋y₂＝，                                           10分
＝7，                                                       11分
由△＝100－4（1－3）（25－3）>0 =7满足此条件，
满足题设的＝.                                             12分
方法2：设，中点为，
由，         7分
∵，的中垂线过点                          9分
∵∴ 11分
整理得解得＝.（满足           12分