Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程

（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；

（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.

（Ⅰ）因为，则，

因为是的一个极值点，所以，即，

所以，

因为，，

则直线方程为，即；

（Ⅱ）因为，所以，

所以，设，则，

所以在上是增函数，在上是减函数，

故，

所以，所以，

设，则，

所以在上是减函数，上是增函数，

所以，

所以当时，，函数在是减函数，

当时，，函数在是增函数，

因为时，，，，

所以当时，方程无实数根，

当时，方程有两个不相等实数根，

当或时，方程有1个实根.