Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1-x}{1+{x}^{2}}{e}^{x}$．
（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），求出切线斜率，即可求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用导数先证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，因此得证．

解答 （Ⅰ）解：∵$f（x）=\frac{1-x}{1+{x}^{2}}{e}^{x}$，
∴f′（x）=$\frac{-x[（x-1）^{2}+2]}{（1+{x}^{2}）^{2}}{e}^{x}$，
∴f′（0）=0，f（0）=1
∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；
同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．
当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＜$\frac{1+x}{1+{x}^{2}}{e}^{-x}$．
此不等式等价于（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
从而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

点评 本题综合考查了利用导数研究切线方程、函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．