Question

在极坐标系中，已知曲线C的方程为ρ²cos2θ=4，过点（1，π）的直线l与直线θ=

π

6

（ρ∈R）平行，现以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，
（1）在该直角坐标系下，求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）判断直线l与曲线C的位置关系，若相交，则求出弦长；若相切，则求出切点坐标；若相离，则求出曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的方程为ρ²cos2θ=4，可得ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4，可得曲线C的直角坐标方程为x²-y²=4．又直线θ=

π

6

（ρ∈R）的斜率k=tan

π

6

=

3

3

．点（1，π）的直角坐标为（-1，0）．利用点斜式可得可得直线l的直角坐标方程．
（2）直线方程与双曲线方程联立可得2x²-2x-13=0，此时△＞0，直线l与曲线C相交，设直线l与曲线C两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根与系数的关系与
弦长|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

即可得出．

解答： 解：（1）∵曲线C的方程为ρ²cos2θ=4，∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4，
∴曲线C的直角坐标方程为x²-y²=4．
又∵直线θ=

π

6

（ρ∈R）的斜率k=tan

π

6

=

3

3

．
点（1，π）的直角坐标为（-1，0）．
∴直线l的直角坐标方程为y=

3

3

(x+1)．
（2）由

x2-y2=4 y= 3 3 (x+1)

可得2x²-2x-13=0，
∵此时△=（-2）²-4×2×（-13）＞0，
∴直线l与曲线C相交，
设直线l与曲线C两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=1，x1x2=-

13

2

．
∴弦长|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 1 3

•

1+26

=6．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线与双曲线的相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．