Question

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，求AP：PM与BP：PN的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据题意把设

BM

=

a

，

CN

=

b

，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出

AM

，

AP

，即可求得AP：PM，BP：PN的值．

解答： 解：设

BM

=

a

，

CN

=

b

，
则

AM

=

AC

+

CM

=-3

b

-

a

，

BN

=

BC

+

CN

=2

a

+

b

，
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使

AP

=λ

AM

=-λ

a

-3λ

b

，

BP

=μ

BN

=2μ

a

+μ

b

，
故

BA

=

BP

-

AP

=（λ+2μ）

a

+（3λ+μ）

b

．
而

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

∴

λ+2μ=2 3λ+μ=3

，解得

λ= 4 5 μ= 3 5

故

AP

=

4

5

AM

，

BP

=

3

5

BN

，即AP：PM=4：1．BP：PN=3：2；

点评：考查向量加法的三角形法则和共线向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封闭图形中求解，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．