Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（-

3

cosx，cosx+sinx），

n

=（sinx，

cosx-sinx

2

），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用平面向量的数量积的坐标运算可得f（x）=-

3

cosxsinx+（cosx+sinx）•

cosx-sinx

2

，再利用三角恒等变换，化简可得f（x）=-sin（2x-

π

6

），
（1）由正弦函数的周期性与单调性即可求得函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）利用正弦函数的最值的性质，由2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）取最小值时相应的x的集合．

解答： （本小题满分12分）
解：由已知得 f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

(cos2x-sin2x)=-

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=-sin(2x-

π

6

)…（4分）
（1）f（x）的最小正周期为T=π…（6分）
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

时，f（x）是减函数…（8分）
∴f（x）的减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z…（9分）
（2）当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

时，f（x）取得最小值-1，…（11分）
∴f（x）的最小值为-1，且相应的x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角恒等变换的应用，突出考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力．