Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，△PF₁F₂的顶点P为双曲线上一个动点，△PF₁F₂内切圆圆心I的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的内切圆的圆心I的轨迹方程．

解答： 解：设点P是双曲线右支上一点，
∴按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．
设B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：
则有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A=（c+x）-（c-x）
=2x=2a
所以x=a
点P是双曲线左支上一点时，也成立．
故答案为：x=a．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．