Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=

2

2

（1）以向量

AB

方向为侧视方向，画出侧视图；
（2）求证：平面AMN⊥平面CMN；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,简单空间图形的三视图,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以向量

AB

方向为侧视方向，能画出侧视图．
（2）取MN中点为O，连AO，CO可证平面AMN⊥平面CMN．
（3）V=V_A-BDMN+V_C-BDMN，证明出AC⊥平面BDMN，由此能求出该几何体的体积．

解答： （1）解：以向量

AB

方向为侧视方向，画出侧视图，如右图所示．（2分）
（2）证明：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=

2

2

，
∴AM=AN=CM=CN=

1+ 1 2

=

6

2

，MN=AC=

2

，
取MN中点为O，连AO，CO，
则AO=CO=

3 2 - 1 2

=1，AO⊥MN，BO⊥MN，
∴∠AOC是平面AMN和平面CMN所成的二面角的平面角，
∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
∴平面AMN⊥平面CMN．（7分）
（3）解：连结AC，BD，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，
∴AC⊥BD，MD⊥AC，
又BD∩MD=D，∴AC⊥平面BDMN，（9分）
∵S_矩形BDMN=BD×MD=

2

×

2

2

=1，AC=

2

，
∴该几何体的体积V=V_A-BDMN+V_C-BDMN
=

1

3

×

2

×1
=

2

3

．（12分）

点评：本题考查侧视图的作法，考查平面AMN⊥平面CMN的证明，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．