Question

已知a＜0，函数f（x）=asin（2x+

π

6

）+b，当x∈[0，

π

2

]时，f（x）∈[-5，1]，
（1）求常数a，b的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移

π

2

个单位长度后，得到函数g（x）的图象，且g（x）＞0，求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）=asin（2x+

π

6

）+b的最值，利用-5≤f（x）≤1即可求得常数a，b的值；
（2）由（1）知，f（x）=-2sin（2x+

π

6

），于是g（x）=f（x+

π

2

）=4sin（2x+

π

6

）-1，由g（x）＞0结合正弦函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：（1）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，又a＜0，
∴a≤asin（2x+

π

6

）≤-

1

2

a，a+b≤asin（2x+

π

6

）+b≤-

1

2

a+b，
∵-5≤f（x）≤1，
∴a+b=-5，-

1

2

a+b=1，解得a=-4．
∴a=-4，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1．
图象向左平移

π

2

个单位长度后，得到函数g（x）的图象，
所以g（x）=-4sin[2（x+

π

2

）+

π

6

]-1=4sin（2x+

π

6

）-1．
由g（x）＞0，得到4sin（2x+

π

6

）＞1．所以sin（2x+

π

6

）＞

1

4

．
所以2kπ+arcsin

1

4

＜2x+

π

6

＜2kπ+π+arcsin

1

4

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

＜2kπ+π+arcsin

1

4

，得到kπ+

π

3

≤x＜kπ+

π

2

+

1

2

arcsin

1

4

，所以g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

π

2

+

1

2

arcsin

1

4

），
由2kπ+arcsin

1

4

＜2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ+

1

2

arcsin

1

4

＜x≤kπ+

π

3

，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为（kπ+

1

2

arcsin

1

4

，kπ+

π

3

]．

点评：本题考查正弦函数的单调性，考查正弦函数的定义域与值域，考查方程思想与运算能力，属于中档题．