Question

18．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}$+1的导函数为f′（x），且f′（-1）=3．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（-1）=3，求出m的值，从而求出f（1），f′（1），代入直线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（ I）由f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}$+1，得f′（x）=x²+2mx．…（1分）
因为f′（-1）=3，即1-2m=3．…（2分），所以m=-1．…（3分）
所以$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+1$，f′（x）=x²-2x．
因为$f（1）=\frac{1}{3}$，f'（1）=-1．…（5分）
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-$\frac{1}{3}$=-（x-1），
即3x+3y-4=0；…（7分）
（Ⅱ）因为f′（x）=x²-2x=x（x-2），…（8分）
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2．…（9分）
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞）．…（11分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2．…（12分）
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，2）．…（14分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，函数的单调性问题，是一道基础题．