Question

6．已知函数f（x）=x²-cosx，x∈[-2，2]，若f（2m-1）＞f（m），则m的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）是偶函数，求出x∈[0，2]时，f′（x）＞0，得到f（x）在[0，2]递增，在[-2，0]递减，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x²-cosx，x∈[-2，2]，
∴f（-x）=（-x）²-sos（-x）=x²-cosx=f（x），
∴f（x）在[-2，2]是偶函数，
∴x∈[0，2]时，f′（x）=2x+sinx＞0，
故f（x）在[0，2]递增，在[-2，0]递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|2m-1|＞|m|}\\{-2≤2m-1≤2}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$≤m＜$\frac{1}{3}$或1＜x≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．