Question

11．已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．设a＞0，若f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，则b的取值范围为[2，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致即f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，来求实数b的取值范围．

解答 解：f′（x）=3x²+a，g′（x）=2x+b．
由题得f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
因为a＞0，故3x²+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，
所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．